Paperis 아티클
브라운 운동에서 시작해, 파생상품 시장을 열고, 위기의 한복판에 섰던 한 공식의 궤적
이 글은 AI가 연구 논문을 바탕으로 작성한 교육·정보 제공용 콘텐츠이며, 전문가의 조언을 대체하지 않습니다. 오류를 발견하셨나요? 알려주세요
© 2026 네오쿤스(Paperis) · 링크 공유는 환영합니다. 전문 전재·재배포는 사전 허가가 필요합니다.
주식을 특정 가격에 살 권리, 팔 권리. 이런 권리를 사고파는 시장을 옵션 시장이라 부른다. 그런데 아직 일어나지도 않은 미래의 권리에 오늘 얼마를 매겨야 하는가. 이 물음은 오랫동안 감(感)과 배짱의 영역이었다. 옵션 거래는 점잖은 투자라기보다 도박에 가까운 것으로 여겨졌다.
1973년, 이 판단이 뒤집혔다. 피셔 블랙과 마이런 숄즈, 그리고 그 이론을 함께 완성한 로버트 머튼이 옵션 가격을 계산하는 하나의 공식을 세상에 내놓았다. 이 블랙-숄즈-머튼(Black-Scholes-Merton) 공식은 옵션 가격 매기기를 "도박"에서 "과학적 위험 관리"로 바꿔 놓았고, 곧이어 옵션 거래량이 폭발적으로 늘었다 (DOI: 10.1177/29767032231211902). 발표로부터 반세기가 지난 지금, 이 모델은 주식·채권·외환·상품·신용에 이르기까지 시장 곳곳의 위험 관리에 스며들어 있다 (DOI: 10.1142/s2010139225400063).
그런데 이 방정식의 이야기는 승리담만은 아니다. 이 공식을 공동으로 만든 두 노벨상 수상자가 세운 헤지펀드가 1998년에 무너졌고, 시장은 그 뒤로도 몇 번이나 이 모델의 가정이 실제와 어긋나는 순간을 목격했다. 이 글은 하나의 수학적 아이디어가 어떻게 태어나(브라운 운동에서 출발해), 어떻게 거대한 시장을 열었으며, 왜 위기의 한복판에서 자기 한계를 드러냈는지를 시간순으로 따라간다. 블랙-숄즈를 안다는 것은 그 공식의 우아함과 그 가정의 취약함을 함께 아는 것이다.
블랙-숄즈 이전에도 사람들은 옵션을 사고팔았다. 흥미로운 사실은, 공식이 없던 시절에도 노련한 거래자들이 나름대로 "적정" 가격에 근접했다는 것이다. 양차 대전 사이 상품 옵션 시장을 분석한 한 경제사 연구는, 그 시절 거래자들이 블랙-숄즈-머튼 모델이 등장하기 훨씬 전부터 시장 환경 변화에 맞춰 가격을 직관적으로 조정했을 수 있으며, 그 가격이 훗날의 이론값에 앞선 연구들이 시사한 것보다 가까웠다고 보고한다 (DOI: 10.1111/ehr.12935). 다시 말해, 문제는 "가격을 전혀 몰랐다"가 아니라 "왜 그 가격인지를 설명할 원리가 없었다"였다.
그 원리의 씨앗은 뜻밖에도 20세기 벽두의 한 박사논문에 있었다. 프랑스 수학자 루이 바슐리에는 1900년 학위논문에서 주가의 움직임을 무작위한 브라운 운동으로 모델링했다 — 물리학이 입자의 무작위 운동을 다루기도 전에, 시장의 무작위성을 수학으로 포착하려 한 시도였다. 그러나 바슐리에의 연구는 당대에 거의 주목받지 못했고, 그의 생애는 오랫동안 잊혀진 쓸쓸한 이야기로 남았다 (DOI: 10.37282/991819.19.84). 그의 아이디어가 금융의 심장부로 돌아오기까지는 70년이 더 걸렸다.
블랙과 숄즈가 풀려던 문제의 핵심은 이것이었다. 옵션의 가치는 미래 주가가 어떻게 될지에 달려 있는데, 미래는 알 수 없다. 그렇다면 무엇을 붙잡아야 하는가.
이들의 돌파구는 "무차익거래(no-arbitrage)"라는 발상이었다. 옵션과 그 기초자산(주식)을 특정 비율로 조합하면, 주가가 오르든 내리든 순간적으로는 위험이 상쇄되는 포트폴리오를 만들 수 있다. 위험이 사라진 포트폴리오는 무위험 이자율만큼만 벌어야 한다 — 그렇지 않으면 공짜 차익거래 기회가 생기고, 시장은 그것을 즉시 지워 버리기 때문이다. 이 "위험 없는 수익은 존재할 수 없다"는 원칙이 현대 금융공학의 초석이 되었다 (DOI: 10.1093/actrade/9780198787945.003.0003). 이 조합 비율을 시간에 따라 계속 조정하며 위험을 없애는 기법이 바로 동적 헤징(dynamic hedging), 즉 옵션을 주식과 채권으로 "복제"하는 자기복제 헤지 전략이다 (DOI: 10.31410/eraz.2024.157).
이 직관을 엄밀한 방정식으로 세우는 데에는 확률미적분학의 핵심 도구인 이토 보조정리(Itô's lemma)가 필요했다. 무작위하게 요동치는 주가를 미분하듯 다루게 해 주는 이 도구 덕분에, 옵션 가격이 만족해야 할 편미분방정식과 그 해(공식)가 유도되었다 (DOI: 10.61173/b0jadz18; DOI: 10.47086/pims.956201). 여기서 로버트 머튼의 기여가 결정적이었다. 그는 연속시간 확률모형(이토 미적분)을 금융 의사결정에 도입하고 동적 헤징을 정식화해, 이론적 이상세계와 현실의 자산운용 사이에 다리를 놓았다. 1997년 머튼과 숄즈는 "파생상품 가치를 결정하는 새로운 방법"으로 노벨 경제학상을 받았다 (DOI: 10.1146/annurev-financial-100520-074656). (피셔 블랙은 1995년에 세상을 떠나, 노벨상은 사후 수여되지 않는 규정 탓에 함께 받지 못했다.)
우연이라기엔 절묘하게도, 공식이 발표된 1973년 바로 그해에 시카고옵션거래소(CBOE)가 문을 열며 표준화된 옵션이 처음으로 거래소에서 거래되기 시작했다. 이론과 시장이 같은 해에 만난 것이다.
블랙-숄즈가 바꾼 것은 옵션 하나의 가격이 아니라, 금융을 다루는 방식 자체였다. 옵션 가격을 "감"이 아니라 "계산"의 대상으로 만들자, 거래는 안심하고 규모를 키울 수 있었다. 모델은 단순히 우세한 옵션 가격모형에 그치지 않고 금융 이론·기관·기업재무를 다루는 방식을 근본적으로 바꿨으며, 오늘날 시장 전반의 위험 관리에서 그 쓰임은 어디에나 있다 (DOI: 10.1142/s2010139225400063).
이 발상은 옵션을 넘어 확장되었다. 머튼은 옵션가격 이론을 일반화한 조건부청구권 분석(Contingent Claims Analysis)을 만들어, 기업의 부채나 정부 보증 같은 온갖 청구권을 "옵션처럼" 평가하는 길을 열었다 — 이것이 새로운 금융상품을 설계하는 금융공학(financial engineering)의 토대가 되었다 (DOI: 10.1146/annurev-financial-100520-074656). 옵션 가격을 유도하는 과정에서 태어난 확률미적분·헤지 개념은 그 자체로 하나의 학문, 즉 금융수학의 성장을 이끌었다 (DOI: 10.61173/b0jadz18).
모델은 뜻밖의 선물도 남겼다. 공식을 거꾸로 풀면, 시장 가격이 지금 얼마만큼의 변동성을 "예상"하고 있는지를 역산할 수 있다. 이 내재변동성(implied volatility)은 미래를 가늠하는 예측 도구이자 위험·포트폴리오 관리의 잣대로 자리 잡았다 (DOI: 10.54254/2754-1169/17/20231048). 실제로 어느 실증연구에서 옵션 가격을 매길 때 과거 데이터로 계산한 변동성을 쓰면 평균 오차가 42.46%였던 반면, 시장이 내재한 변동성을 쓰면 오차가 9.17%로 크게 줄었다 (DOI: 10.54254/2754-1169/2024.18703). 시장은 이제 공식이 뱉어낸 숫자를 통해 자기 자신의 불안을 읽기 시작했다.
블랙-숄즈 공식은 하나의 핵심 가정 위에 서 있다. 어떤 옵션이든 그 기초자산의 변동성은 동일한 하나의 값이라는 것. 이 가정이 옳다면, 만기가 같은 옵션들의 내재변동성을 행사가격별로 그려 보면 평평한 직선이 나와야 한다. 그런데 현실의 그래프는 평평하지 않고, 양쪽 끝이 올라간 미소(smile) 혹은 한쪽으로 기운 왜곡(skew) 모양을 그린다. 이 변동성 미소는 공식의 이상적 가정이 실제 시장과 어긋난다는 증거다 (DOI: 10.54691/bcpbm.v38i.4314).
이 균열이 언제 뚜렷해졌는지에는 극적인 계기가 있다. 1987년 미국 증시가 하루 만에 폭락한 '블랙 먼데이'다. 이 사건 이후 전 세계 옵션시장에는 영구적인 변화가 생겼다 — 그전까지 잘 보이지 않던 내재변동성 왜곡이 나타나기 시작한 것이다. 붕괴 이전 투자자들은 "델타 헤지된 포트폴리오는 무위험"이라고 은연중에 믿었지만, 폭락으로 그 헤지가 처참하게 실패하면서 "델타 헤지된 포트폴리오도 위험하다"는 교훈이 각인되었고, 이 자각이 왜곡된 변동성 곡선으로 나타났다는 분석이 있다 (DOI: 10.3934/qfe.2022021). 변동성 미소는 단순한 계산 오류가 아니라, 변동성과 가격 변화가 시장의 불균형을 통해 서로 얽혀 있다는 "실재하는" 현상이라는 것이다 (DOI: 10.54946/wilm.11108).
실제 시장에서 가정이 깨지는 방식은 다양하다. 한 실증연구는 옵션 가격을 매길 때 모델의 이상적 가정 탓에 시장 가격과 심각한 괴리가 생긴다고 지적하며 그 핵심 증상으로 변동성 미소를 든다 (DOI: 10.54254/2754-1169/2024.18702). 제도적 제약도 가정을 무너뜨린다. 공매도가 금지된 중국 시장을 미국·인도와 비교한 연구는, 공매도 제한이 블랙-숄즈의 전제(마찰 없는 거래, 자유로운 공매도)를 위반해 체계적인 가격 오류를 낳는다는 것을 보였다 (DOI: 10.54254/2754-1169/2026.bj30805). 중국 리테일 투자자를 대상으로 한 다른 연구에서는 모델의 표본외 오차가 옵션 프리미엄의 12.03%에 달해, 모델만 믿고 투자 결정을 내리면 성과에 악영향을 줄 수 있다고 경고한다 (DOI: 10.24135/afl.v11i.589). 변동성이 너무 낮은 시장에서는 모델이 아예 작동하지 않기도 한다 — 가나 증권거래소의 28개 종목에 공식을 적용하자 18개 종목의 콜옵션 가치가 0으로 계산되어, 사실상 파생상품의 기초자산이 될 수 없는 것으로 나타났다 (DOI: 10.14738/abr.105.12350).
가정의 취약함이 이론의 문제로 그치지 않고 현실의 재난이 된 사건이 1998년에 일어났다. 롱텀캐피털매니지먼트(LTCM)라는 헤지펀드였다. 이 펀드에는 블랙-숄즈-머튼 공식을 만든 바로 그 마이런 숄즈와 로버트 머튼이 파트너로 참여하고 있었다. 노벨상을 받은 지 1년 만이었다.
LTCM은 정교한 모델과 막대한 차입(레버리지)에 기대어 시장의 작은 가격 괴리에서 수익을 짜냈다. 그러나 1997년 아시아 금융위기와 1998년 러시아의 채무불이행이라는 충격이 겹치자, 모델이 "극히 드물다"고 가정했던 사건들이 한꺼번에 현실이 되었고 펀드는 붕괴했다 (DOI: 10.58830/ozgur.pub483.c1987). LTCM 사례를 케인스와 민스키의 시각에서 되짚은 한 연구는, 이 사건의 교훈을 냉정하게 요약한다 — 이론의 타당성을 결정하는 모델 가정이 현실적이지 않으면, 그 이론에 기댄 결정은 반복되는 금융 충격을 부를 수밖에 없다는 것이다 (DOI: 10.21301/eap.v14i1.13).
여기서 정직해질 필요가 있다. 이후의 위기, 특히 2008년 글로벌 금융위기를 블랙-숄즈 하나의 탓으로 돌리는 것은 부정확하다. 금융사(史)를 분석한 연구들은, 모델이 흔히 안정적이고 관측 가능한 환경에 맞춰 보정되기 때문에 정작 결과를 크게 좌우하는 드문 극단 사건에서 가장 신뢰할 수 없게 된다는 구조적 맹점을 지적한다 (DOI: 10.2139/ssrn.6622980). 2008년의 파생상품 참사에서 더 자주 지목되는 것은 블랙-숄즈가 아니라 신용파생상품에 쓰인 가우스 코퓰러(Gaussian copula) 같은 다른 모델이었다. 한 논평은 블랙-숄즈는 "좋은" 도구이고 가우스 코퓰러는 그렇지 않다고 대비하며, 결국 문제는 모델 자체가 아니라 "올바른 도구를 올바른 자리에 쓰는가"라고 짚는다 (DOI: 10.54946/wilm.12226). 즉 위기의 책임은 공식보다 그것을 쓰는 사람의 손에 더 많이 걸려 있다.
블랙-숄즈를 둘러싼 가장 큰 오해는 "정밀한 공식이니 정답을 준다"는 믿음이다. 공식의 아름다움과 그 가정의 현실성은 별개다. 모델이 딛고 선 전제들을 하나씩 뜯어보면 한계가 분명해진다.
정규분포 가정. 공식은 주가 수익률이 무작위 보행을 따르며 대체로 정규분포에 가깝게 움직인다고 가정한다 (DOI: 10.1177/29767032231211902). 그러나 실제 시장 수익률은 정규분포보다 꼬리가 두껍다 — 폭락·폭등 같은 극단이 이론이 예측하는 것보다 훨씬 자주 일어난다. LTCM을 무너뜨린 것이 바로 이 "두꺼운 꼬리"였다.
일정한 변동성 가정. 변동성이 만기·행사가격과 무관하게 하나의 값이라는 전제는, 앞서 본 변동성 미소로 정면 반박된다 (DOI: 10.54691/bcpbm.v38i.4314). 현실의 변동성은 시간에 따라, 그리고 옵션마다 달라진다.
연속 헤징과 무마찰 시장 가정. 공식의 증명은 언제든 거래비용 없이 주식과 옵션을 사고팔 수 있다고 가정한다 (DOI: 10.1177/29767032231211902). 실제로는 거래비용이 있고, 시장은 24시간 열려 있지 않으며, 급락장에서는 원하는 가격에 팔 수도 없다. 공매도 금지 같은 제도적 마찰도 이 전제를 깬다 (DOI: 10.54254/2754-1169/2026.bj30805). 완벽하게 연속적인 헤징은 이론 속에서만 가능하다.
이 한계들이 말해 주는 것은, 블랙-숄즈가 시장의 "진실"을 기술하는 물리 법칙이 아니라 유용한 근사라는 사실이다. 모델을 물리 법칙처럼 맹신하는 순간 — 특히 드문 극단 사건을 "일어나지 않는다"고 취급하는 순간 — 위험은 조용히 쌓이다 한꺼번에 터진다 (DOI: 10.2139/ssrn.6622980). 공식의 진짜 위험은 공식 안이 아니라, 그것을 쓰는 사람의 과신에 있다.
가정이 이렇게 많이 깨지는데도 블랙-숄즈는 반세기가 지난 지금까지 업계 표준으로 살아남았다 (DOI: 10.1177/29767032231211902). 왜일까.
첫째, 공식이 놀랍도록 튼튼하기 때문이다. 원래 유도는 강한 통계적 가정에 기대지만, 그 가정들이 성립하지 않는 곳에서도 공식은 꽤 잘 맞는다. 한 연구는 그 이유를 "척도 불변성(scale-invariance)"이라는 훨씬 약한 대칭성 하나만으로 같은 방정식을 다시 유도할 수 있다는 데서 찾는다 — 애초에 그렇게 강한 가정이 필요 없었다는 것이다 (DOI: 10.1142/s0218488520400012). 실제로 수익률의 분포를 몰라도, 확률변동성이나 확률금리를 허용해도, 고전적 블랙-숄즈와 동일한 형태의 공식을 얻을 수 있음을 보인 연구도 있다 (DOI: 10.32388/tl11vf).
둘째, 실무는 이미 이 한계를 알고 우회한다. 변동성 미소를 인정하고 옵션마다 다른 변동성을 집어넣거나, 확률변동성·점프 같은 요소로 모델을 확장하는 식이다 (DOI: 10.31410/eraz.2024.157). 위기 때는 대안 모델로 갈아타기도 한다. 2020년 코로나 국면과 그해 4월 유가 선물의 마이너스 가격 사태 때, 주요 시장은 음(-)의 가격을 허용하는 바슐리에 모델로 잠시 이동했다 (DOI: 10.1057/s41283-025-00160-0). 바슐리에가 100여 년 만에 무대로 돌아온 것이다.
셋째, 그리고 가장 근본적으로, 블랙-숄즈는 정답표가 아니라 공통 언어이기 때문이다. 내재변동성은 미래를 가늠하는 예측 도구이자 위험·포트폴리오 관리의 잣대로 쓰인다 (DOI: 10.54254/2754-1169/17/20231048). 그 덕분에 시장 참여자들은 "이 옵션은 이만큼의 불확실성을 가격에 담고 있다"를 같은 눈금으로 주고받을 수 있다. 틀린 가정 위에 서 있어도, 모두가 같은 틀로 대화한다는 사실 자체가 시장을 굴러가게 한다.
블랙-숄즈의 궤적은 하나의 교훈으로 수렴한다. 강력한 모델일수록, 그 가정이 언제 깨지는지를 아는 사람만이 안전하게 쓸 수 있다. 바슐리에의 잊혀진 논문에서 출발해(DOI: 10.37282/991819.19.84), 1973년 세 사람의 손에서 도박을 과학으로 바꾸고(DOI: 10.1146/annurev-financial-100520-074656), 파생상품 시장을 열고(DOI: 10.1142/s2010139225400063), 1987년의 미소와 1998년의 붕괴에서 자기 한계를 드러낸(DOI: 10.3934/qfe.2022021; DOI: 10.21301/eap.v14i1.13) 이 방정식의 역사는, 곧 현대 금융이 자기 자신을 얼마나 믿어야 하는지를 배워 온 역사이기도 하다.
모델과 시장의 관계를 더 파고들고 싶다면, 금융사가 왜 통계적 빈도가 아니라 반복되는 구조적 패턴에서 위험을 읽어야 하는지를 논한 연구가 좋은 다음 걸음이다 (DOI: 10.2139/ssrn.6622980). 공식이 강한 가정 없이도 왜 잘 작동하는지, 그 견고함의 수학적 뿌리가 궁금하다면 대칭성 기반 유도를 따라가 보라 (DOI: 10.1142/s0218488520400012). 결국 블랙-숄즈가 남긴 진짜 유산은 하나의 공식이 아니라, "시장의 불확실성을 계산 가능한 대상으로 만들 수 있다"는 대담한 믿음과 — 그 믿음을 어디까지 밀어붙여도 되는지에 대한, 값비싼 대가를 치르고 얻은 겸손이다.