왜 부는 쏠리는가 — 불평등의 물리학

소득의 대부분은 한쪽으로 치우친 종 모양에 가깝습니다. 대부분의 사람이 한가운데 모이고, 아주 많이 버는 사람은 드뭅니다. 소득의 한가운데는 익숙한 통계의 세계입니다.

그런데 분포의 맨 위로 올라가면 규칙이 바뀝니다. 분포에서 값이 큰 쪽 끝, 곧 가장 부유한 소수가 놓인 구간을 꼬리(tail)라고 부릅니다. 종 모양의 꼬리는 빠르게 줄어들지만, 부의 꼬리는 훨씬 느리게 줄어듭니다. 그 줄어드는 방식이 멱법칙(power law)입니다. 멱법칙은 재산이 두 배로 커질 때마다 그 정도 부자의 수가 언제나 같은 배율로 줄어드는 분포입니다 (arXiv:cond-mat/0412004). 소득의 꼬리도 멱법칙을 보이지만, 부의 꼬리는 그보다 더 느리게 줄어듭니다 (arXiv:0710.0917). 소수가 대부분을 쥐는 이 모양을 19세기 경제학자 빌프레도 파레토가 발견했고, 그래서 파레토 법칙이라고도 부릅니다. 이 모양의 기원을 두고 한 세기 넘게 논쟁이 이어져 왔습니다 (arXiv:cond-mat/0412004).

멱법칙은 부에만 나타나지 않습니다. 도시 크기, 지진 규모, 달 분화구, 전쟁 사상자, 개인의 재산에서 같은 모양이 보인다는 사실에 물리학자들이 주목했습니다 (arXiv:cond-mat/0412004). 서로 무관해 보이는 대상에 같은 모양이 반복되니, 질문은 도덕에서 메커니즘, 곧 그 모양을 만드는 작동 원리로 옮겨갑니다. 왜 부는 이렇게 쏠리는가.

이 글은 그 "왜"를 쫓는 연구를 따라갑니다. 흔히 경제물리학(econophysics)이라 부르는 분야입니다. 물리학의 방법으로 경제를 연구하는 분야로, 사람들을 단순한 규칙에 따라 거래하는 행위자로 놓고 컴퓨터로 돌려 보는 모형을 주로 씁니다.

관찰 — 하나의 분포, 두 개의 얼굴

부의 분포에는 두 개의 얼굴이 있습니다. 인구 대다수가 있는 중하위 구간에서는 지수형 분포에 가깝습니다. 지수형은 재산이 일정한 금액만큼 커질 때마다 사람 수가 같은 비율로 줄어드는 모양으로, 깁스 분포라고도 부릅니다. 상위 부유층 구간에서는 이 분포가 멱법칙, 곧 파레토형 꼬리로 바뀝니다. 멱법칙은 지수형보다 훨씬 천천히 줄어서, 아주 큰 부자가 더 많이 남습니다.

한 닫힌 경제 모형이 이 두 얼굴을 한 분포 안에 담았습니다. 닫힌 경제는 밖과 거래하지 않아 총재산이 일정합니다. 이 모형에서는 가난한 쪽은 아무와나 거래하고, 일정 재산 이상인 쪽은 비슷한 재산의 상대와만 거래하도록 두 규칙을 함께 썼습니다. 그러자 중하위의 지수형과 상위의 파레토형이 한 분포에 공존했습니다 (arXiv:0710.1014).

부와 소득 자료에서는 멱법칙이 두 구간으로 나뉘는 이중 멱법칙도 보입니다. 이때 쓰는 수가 파레토 지수입니다. 파레토 지수(Pareto exponent)는 멱법칙 꼬리가 줄어드는 속도를 나타내며, 지수가 작을수록 꼬리가 느리게 줄어 부가 더 극단적으로 쏠립니다. 포브스 부자 명단에 오른 초부유층의 파레토 지수는 소득 자료 속 고소득자의 지수보다 작습니다 (arXiv:0710.0917).

이 꼬리는 여러 사회에서 보고됐습니다. 인도 부자 명단의 재산 분포에서도 멱법칙 꼬리가 보이며, 파레토 지수는 약 0.81~0.92로 추정됩니다 (arXiv:cond-mat/0502166). 헝가리 중세 귀족 사회에서도 보고됐습니다. 귀족이 거느린 농노 가구 수를 재산의 척도로 삼았더니 파레토 지수 약 0.92의 멱법칙이 나왔습니다 (arXiv:physics/0509045). 독일 가계 자료와 부자 명단으로 상위 꼬리를 추정하는 방법도 다듬어져 있습니다 (arXiv:1807.03592). 여러 사회에서 비슷한 모양의 꼬리가 보고됐지만, 지수는 사회마다 다릅니다.

왜 쏠리는가 ① — 가진 만큼 불어나는 재산

가장 단순한 가정은 부가 곱하기로 는다는 것입니다. 늘어나는 몫이 이미 가진 재산에 비례한다는 뜻이며, 이것이 곱셈적 성장(multiplicative growth)입니다. 같은 비율로 늘면 부자의 절대 증가액은 더 크지만 재산의 몫은 그대로입니다. 여기에 부자에게 유리한 규칙이 더해져 부자가 더 부자가 되는 쪽으로 기우는 것을 부익부라 부릅니다.

곱셈 교환이라도 무작위로 늘고 줄 때는 분포가 일정한 정상 상태에 이릅니다. 멱법칙은 부유한 쪽이 비례해 가져가는 '탐욕스러운' 곱셈 교환에서 나왔고, 그때 분포는 정상 상태 없이 꼬리가 계속 늘어났습니다 (arXiv:cond-mat/9708018). 경쟁하는 행위자들이 각자 자본을 스스로 불려 가는 한 확률 모형에서는, 곱셈 동역학, 곧 재산이 불어나는 규칙이 일반적으로 잘려진 파레토 멱법칙으로 수렴합니다 (arXiv:cond-mat/9803367). 잘려졌다는 것은 한 사람이 시장에 투자된 총액보다 많이 가질 수 없어서 꼬리가 맨 끝에서 끊긴다는 뜻입니다.

부익부는 물리학의 언어로도 옮겨집니다. 운동론적 교환 모형(kinetic exchange model)은 부를 보존되는 양으로 보고 거래를 입자 충돌처럼 다룹니다. 두 사람이 만날 때마다 재산 일부를 주고받고, 둘의 재산 합은 변하지 않습니다 (arXiv:physics/0611245).

여기에 저축 성향을 넣으면 분포가 달라집니다. 저축 성향(saving propensity)은 거래에 내놓지 않고 지켜 두는 재산의 비율입니다. 모두의 저축 성향이 같으면 분포는 지수형에서 감마 분포, 곧 '가장 흔한 재산값'이 가운데에 있는 산 모양으로 바뀝니다. 저축 성향이 사람마다 무작위로 다르면 사람별 감마 분포들이 겹치면서 파레토 멱법칙 꼬리가 나타납니다 (arXiv:physics/0504153). 멱법칙은 여러 지수형 분포(exponential distribution)가 포개진 결과일 수 있습니다.

행위자 사이의 비대칭성을 넣은 모형도 있습니다. 비대칭은 부자가 가난한 사람과 다르게 행동한다는 뜻입니다. 오가는 금액이나 이길 확률이 재산에 따라 달라지는 식입니다. 상호작용이 대칭이면 분포는 꼬리가 빨리 줄어드는 모양이 되거나, 한 사람에게 모든 부가 몰리는 양극단으로 갑니다. 비대칭을 넣은 모형들에서 파레토형 멱법칙이 나타났고, 저자들은 일반적으로 그렇다고 제안합니다 (arXiv:physics/0504197).

가난한 사람은 서로 거래하고 부유한 쪽은 거대한 부의 저수지와 거래한다고 놓는 모형도 있습니다. 가난한 쪽에서는 지수형이, 부유한 쪽에서는 멱법칙이 동시에 나옵니다 (arXiv:cond-mat/0409329).

사회 연결망 모형도 있습니다. 부가 연결 수에 비례한다고 놓으면, 파레토 분포가 중산층이 사라진 '간극 있는' 분포로 바뀌는 2차 상전이가 보고됐습니다 (arXiv:1010.2173). 상전이(phase transition)는 조건이 임계값을 넘으면 전체 상태가 질적으로 달라지는 현상입니다. 물이 끓는점에서 수증기가 되듯 불연속적으로 넘어가는 경우(1차)도, 서서히 이어지며 넘어가는 경우(2차)도 있습니다.

왜 쏠리는가 ② — 한 사람에게 모든 것이 몰리는 극단

곱셈 동역학을 끝까지 밀고 가면 극단적인 결론이 나옵니다. 부의 응축(wealth condensation)은 단 한 사람이 사실상 모든 것을 쥐는 상태입니다.

차크라보티의 야드세일 모형에서는 두 사람이 만나 한쪽이 이기고 한쪽이 지는 거래를 반복하며, 오가는 금액은 둘 중 가난한 쪽 재산에 비례합니다 (arXiv:1407.6851). 거래해도 각자의 기대 재산(평균적으로 예상되는 재산)은 변하지 않습니다. 그런데도 수학 정리로 거의 확실하게 한 사람에게 부가 응축됩니다 (arXiv:2406.10978).

이 거래 규칙에서 재산 분포가 시간에 따라 어떻게 변하는지는 포커–플랑크 방정식으로 쓸 수 있습니다 (arXiv:1212.6300, arXiv:1407.6851). 재분배(걷어서 다시 나누는 장치)를 더하면 파레토 법칙과 매우 닮은 정상 분포가 나옵니다. 정상 분포는 더는 변하지 않는 분포입니다 (arXiv:1407.6851). 다만 재분배가 약할 때만 파레토에 가깝고, 강해지면 다른 모양으로, 아주 큰 재산에서는 결국 가우스형 감쇠로 넘어갑니다 (arXiv:1511.00770). 재분배가 없으면 지니 계수가 시간이 갈수록 한 방향으로 커져 1에 다가갑니다 (arXiv:1511.00770). 지니 계수(Gini coefficient)는 불평등을 0에서 1 사이로 재는 수로, 0은 완전 평등, 1은 한 사람이 전부 가진 최대 불평등입니다.

응축은 종종 상전이의 모습을 띱니다. 거래에서 부유한 쪽이 이길 확률이 더 높게 기울어진 정도를 편향이라 하면, 편향이 임계값을 넘는 순간 부가 응축되는 상으로 갈립니다. 과두(oligarch)는 한 나라 전체 부의 무시 못 할 몫을 쥔 개인입니다. 편향이 부 차이에 따라 계단처럼 뛰면 한 사람의 지배(절대적 과두제)로 곧장 넘어가는 1차 상전이가 나타납니다. 편향이 부드럽게 변하면 과두와 비과두가 공존하는 구간을 거치는 2차 상전이가 나타납니다 (arXiv:1511.00770). 야드세일 모형에 '부로 얻은 우위'를 더하면 응축된 부가 시간에 따라 S자 곡선(로지스틱 방정식)을 그리며 자라납니다 (arXiv:1608.05851).

또 다른 운동론적 교환 모형인 바네르지 모형에서는 세금 같은 외부 개입이 없어도 단 열 명이 전체 부의 약 99.98%를 쥐는 정상 상태가 나타납니다. 다만 행위자들이 일정 확률로 무작위 교환을 따르기만 해도, 행위자 수가 아주 많은 극한에서는 이 응축이 사라집니다 (arXiv:2306.00756).

모든 모형이 응축으로 끝나는 것은 아닙니다. 야드세일 모형과 절도사기 모형(이긴 쪽이 진 쪽 재산의 일부를 가져감)에 펑크된 평형(오랜 정체 뒤 급변하는 진화의 방식을 빌린 교란)을 확률적으로 섞고 지니 계수로 쟀습니다. 절도사기 모형에서는 교란이 커질수록 지니 계수가 줄었습니다. 야드세일 모형에서는 교란이 일정 문턱을 넘으면 지니 계수가 1에 이르지 않아 극단적 응축을 피했고, 재산 분포는 멱법칙으로 줄어들었습니다 (arXiv:1407.7153). 이타심을 넣으면 분배가 더 평등해졌지만, 현실에서 기대하기 어려울 만큼 큰 이타심에서만 그랬습니다 (arXiv:physics/0507093).

비평형 열역학은 평형에 이르지 못한 계를 다루는 틀입니다. 이 틀의 모형은 열역학 퍼텐셜, 곧 에너지 같은 양의 경제적 유사물을 정의해 분석합니다. 이 모형의 경제는 정상 상태에 이르지 못하고, 파레토 꼬리도 일시적으로만 나타납니다. 부의 응축은 한동안 안정돼 보이는 상태를 확률적 터널링으로 뚫고 나간 결과입니다. 모형 계산으로는 연 10% 수익이면 50년 뒤 인구의 1%가 부의 50%를 갖게 됩니다 (arXiv:physics/0601191).

왜 쏠리는가 ③ — 사람마다 다른 수익률과 피케티

토마 피케티는 『21세기 자본』에서 자본수익률 r이 경제성장률 g를 웃돌면(r>g) 부가 노동보다 빠르게 불어나 불평등이 커진다고 주장했습니다. 자본수익률은 재산이 한 해에 벌어들이는 비율이고, 경제성장률은 나라 경제 전체가 한 해에 커지는 비율입니다. 피케티가 부 불평등 논의를 촉발한 뒤, 물리학자와 수학자들은 이미 20년 가까이 무작위 교환 모형과 기체 분자의 방정식(볼츠만 방정식)을 빌려 부의 분포를 이끌어 왔습니다 (arXiv:1609.08978). 이 모형들이 r>g 주장 자체를 검증한 것은 아닙니다.

수익률이 사람마다 다르다는 점도 따져 볼 대목입니다. 이를 수익률 이질성이라 합니다. 한 모형에서는 투자자마다 재산이 평균적으로 불어나는 속도(표류)가 다르면, 비례적 부유세는 모두의 속도를 같은 만큼 낮추는 것으로 보이지만 경제적 의미에서는 중립적이지 않습니다. 능력 유형에 따라 실제 부담이 갈리고, 장기적인 재산 분포의 모양 자체가 바뀝니다 (로그 재산 기준, arXiv:2603.16006).

부의 응축을 막으려면 어떤 조건이 필요한지도 증명으로 밝혀졌습니다. 수익이 재산과 음의 상관만 아니면, 평균 노동소득이 평균 재산에 적어도 비례해 늘어나야 집중이 폭주하지 않습니다 (arXiv:2202.05789). 재산이 클수록 수익이 낮아지는 경향이 없는 한, 라는 단서입니다. 이 모형에서 노동소득은 곱셈적 성장의 폭주를 잡아 주는 균형추 구실을 합니다.

열역학으로 불평등을 읽는 분석도 있습니다. 경제적 계층화를 엔트로피(흩어진 정도를 재는 물리량)에 빗댄 분석이 있습니다. 상향 이동성과 불안정성(precariousness)을 짝을 이루는 변수로 놓고, 둘이 함께 있는 것을 불평등의 근본 동인으로 짚습니다. 세후 자본수익률이 갑자기 바뀐 뒤 부의 분포가 새 평형으로 자리 잡는 데 걸리는 시간도 추정했습니다 (arXiv:1406.6441).

자본 몫이 실제로 불평등을 키웠다는 실증도 있습니다. 자본 몫(capital share)은 나라 전체 소득 가운데 자본에 돌아가는 몫입니다. 56개국 40년 자료에서 자본 몫이 1%p 오르면 상위 5%의 소득 몫이 평균 0.17%p 올랐습니다. 자본 몫의 변화는 소득 불평등 상승의 약 절반을 설명했습니다 (arXiv:2501.02371).

모델이 그리는 정책 실험

이 모형들의 매력은 정책을 수치 실험으로 돌려 볼 수 있다는 점입니다.

학부생을 위한 설명용 모형이 시사하는 바로는, 부유세가 일정 임계값보다 낮으면 과두(앞에서 본, 부의 무시 못 할 몫을 쥔 개인)가 나타나고 높으면 나타나지 않습니다. 같은 모형은 소득세와 자본이득세만으로는 과두의 출현을 막을 수 없다고 경고합니다 (arXiv:2308.01500). 거시경제 모형과 경제물리 교환·재분배 모형을 결합한 연구도 있습니다. 과소 재분배와 낭비는 불평등을 키우고, 과잉 재분배와 인색함은 효용, 곧 소비에서 얻는 만족을 떨어뜨렸습니다. 균형 잡힌 중도가 불평등 감소와 효용 증가를 동시에 이뤘습니다 (arXiv:2405.13341).

운동론적 교환 모형에서는 저축 성향이 높아질수록 불평등이 줄었습니다. 지니 계수와 콜카타 지수, 두 불평등 지표로 쟀습니다 (arXiv:2108.12343, arXiv:2110.15001). 반면 비슷한 재산끼리만 거래하는 '분리된' 경제에서는 개인의 저축이 힘을 쓰지 못했습니다. 이때는 재분배 과세가 공간적 불균질을 가로질러 불평등을 크게 줄였습니다 (arXiv:2003.04129). 이자를 금지하고 이익을 나누며 자선으로 재분배하는 이슬람 경제 제도(자카트·와크프)를 모형에 옮겼더니, 이자 대출 모형보다 이익공유 모형에서 지니 계수가 더 천천히 올랐고, 재분배를 더하면 둘 다 1 미만에서 멈췄습니다 (arXiv:2206.05443).

교육 예산에서도 실증이 같은 결을 보탭니다. 2010~2022년 미국 카운티 자료의 분위 회귀(통계적 분석)에서, 지출 총액은 불평등의 소폭 증가와 연관됐습니다. 수업·지원 서비스 비중이 큰 카운티일수록 불평등이 낮았고, 불평등이 큰 카운티에서 특히 그랬습니다. 그래서 지출을 얼마나 쓰느냐보다 어떻게 배분하느냐가 더 중요했습니다 (arXiv:2601.11928). 기회 자체의 불평등을 다루는 시각은 더 까다롭습니다. 본인이 통제할 수 없는 환경이 같은 사람끼리 묶어 유형별 복지 수준을 먼저 평가한 뒤, 유형 사이의 불평등을 합산하는 두 단계 평가가 제안됐습니다 (arXiv:2603.26853).

정직한 현주소

여기까지만 보면 멱법칙은 깔끔한 보편 법칙처럼 보입니다. 하지만 정직한 그림에는 단서가 많습니다.

첫째, 꼬리의 보편성 자체가 흔들립니다. 재분배가 응축의 문턱(임계점) 근처에 있을 때, 부의 꼬리는 정책 설계에 따라 종 모양보다 느리게 줄어드는 여러 모양을 보였습니다. 그 모양은 공공정책의 세부에 의해 전적으로 결정됐습니다 (arXiv:2006.15008). 문턱 근처의 사회에서는 꼬리가 보편적이지 않다는 뜻입니다. 이 모형을 만든 저자들은 오늘날 주요 경제 대부분이 그 문턱 근처에 있다고 봅니다 (arXiv:2006.15008).

둘째, 메커니즘이 모형마다 갈립니다. 같은 멱법칙 꼬리를 경쟁하는 곱셈 성장으로도, 저축 성향의 이질성으로도, 비대칭 상호작용으로도, 부의 저수지와의 거래로도 만들 수 있습니다 (arXiv:cond-mat/9803367, arXiv:physics/0504153, arXiv:physics/0504197, arXiv:cond-mat/0409329). 어느 것이 진짜 동인인지는 데이터만으로 가르기 어렵습니다. 단순 화폐 교환 모형을 비판적으로 검토한 논문은 분자 운동에 빗댄 모형의 한계를 짚습니다. 시장 권력이 커지면 불평등은 커지지만, 그것만으로는 단순 교환 모형의 지수형 꼬리를 파레토 꼬리로 바꾸기에 충분하지 않다는 지적입니다 (arXiv:cs/0506092). 꼬리가 맨 끝에서 잘려 있는지 아닌지는 알기 어려워서, 꼬리를 추정하는 방법 자체가 논의 대상입니다 (arXiv:1505.05189).

셋째, 정책 함의는 미묘합니다. 불평등이 심해지면 유동성, 곧 거래가 일어나는 빈도가 소수에게 더 날카롭게 쏠립니다. 파레토 지수가 1에 닿으면 경제의 흐름이 멈출 수 있다는 모형이 있습니다 (arXiv:1602.07300). 호주 자료에서는 도시가 클수록 고소득이 더 빠르게 자라, 큰 도시일수록 불평등이 커지는 규모 법칙도 보고됐습니다 (arXiv:1509.00959). 한편 같은 곱셈 동역학이라도 성장의 몫이 부자에게 너무 쏠리지 않게 분배되면 가난한 쪽도 부유한 쪽도 함께 성장에서 이득을 봅니다 (arXiv:2102.01268, arXiv:2102.01274). 결론은 한 방향이 아닙니다.

가장 중요한 단서는 이 글이 인용한 연구 대부분이 단순화된 모형이거나 프리프린트라는 사실입니다. 실증 연구도 일부 있지만, 동료심사 여부는 일일이 확인하지 않았습니다. 프리프린트는 동료심사, 곧 전문가 심사를 받기 전에 공개한 연구입니다. 행위자를 기체 분자처럼 다루는 비유는 강력하지만, 모든 경제는 결국 인간의 결정으로 굴러갑니다. 기본 운동론적 교환 모형을 정리한 종설도 공통 특징과 함께 풀리지 않은 문제를 따로 다룹니다 (arXiv:physics/0611245).

마무리

이 모형들에서는 곱셈적 성장, 수익률의 이질성, 부익부의 비대칭이 맞물릴 때 멱법칙 꼬리와 응축이 나타났습니다. 다만 현실의 쏠림이 이 중 무엇 때문인지는 아직 열려 있습니다.

모형들은 쏠림이 약해지는 조건도 보여 줍니다. 수익이 재산과 음의 상관이 아닐 때, 노동소득이 평균 재산에 비례해 자라는 것은 집중이 폭주하지 않기 위한 필요조건으로 증명됐습니다 (arXiv:2202.05789). 한 모형에서는 재분배와 소비의 도덕 모수가 중간일 때 불평등과 효용이 함께 좋아졌습니다 (arXiv:2405.13341). 또 다른 모형에서는 재분배가 문턱 근처에 있을 때 꼬리 모양이 정책 설계에 따라 달라졌습니다 (arXiv:2006.15008). 현실에서 검증된 처방은 아닙니다. 메커니즘이 모형마다 갈리고 정책 함의가 논쟁적이라는 불확실성이 남습니다. 그래도 한 가지는 또렷합니다. 왜 이런 규칙성이 나타나는가라는 질문 자체가, 불평등을 도덕의 문제이자 동시에 동역학의 문제로 다시 보게 만듭니다.

이 글은 연구 동향을 소개하기 위한 것으로, 특정한 경제·정책 판단을 대체하지 않습니다. 인용한 다수는 프리프린트(동료심사 전)이며 결론은 잠정적입니다.

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근거 논문

관찰 — 파레토·멱법칙·이중 꼬리

• 멱법칙·파레토·지프 법칙 종설 (arXiv:cond-mat/0412004)
• 소득·부의 이중 멱법칙 (arXiv:0710.0917)
• 부의 상위 꼬리 추정 방법론(독일) (arXiv:1807.03592)
• 인도 부 분포의 멱법칙 꼬리 증거 (arXiv:cond-mat/0502166)
• 헝가리 중세 사회의 파레토 법칙 (arXiv:physics/0509045)
• 부 제한 상호작용의 깁스–파레토 분포 (arXiv:0710.1014)

메커니즘 ① — 곱셈적 성장·부익부·운동론적 교환

• 자본 교환 모형의 부 분포(곱셈 과정) (arXiv:cond-mat/9708018)
• 확률적 로트카–볼테라와 잘려진 파레토 (arXiv:cond-mat/9803367)
• 기본 운동론적 교환 모형 종설 (arXiv:physics/0611245)
• 지수의 겹침에서 나오는 멱법칙(저축 성향) (arXiv:physics/0504153)
• 비대칭 상호작용과 파레토(부자는 다르다) (arXiv:physics/0504197)
• 깁스–파레토 행동의 해석적 처리(부의 저수지) (arXiv:cond-mat/0409329)
• 복잡 연결망과 중산층 소멸 상전이 (arXiv:1010.2173)

메커니즘 ② — 부의 응축·상전이

• 야드세일 모형의 국소 부 응축 (arXiv:2406.10978)
• 파레토 법칙의 기원과 운동론(야드세일) (arXiv:1212.6300)
• 포커–플랑크 기술과 파레토 법칙의 기원 (arXiv:1407.6851)
• 과두제를 상전이로 본 포커–플랑크(부로 얻은 우위) (arXiv:1511.00770)
• 야드세일 과두 성장의 로지스틱 방정식 (arXiv:1608.05851)
• 극단 불평등 운동론 모형의 안정성(바네르지 모형) (arXiv:2306.00756)
• 펑크된 평형과 부 교환 모형 (arXiv:1407.7153)
• 이타심과 단순 경제 모형의 부 분포 (arXiv:physics/0507093)
• 부 응축의 비평형 열역학 (arXiv:physics/0601191)

메커니즘 ③ — 수익률 이질성·피케티 r>g

• 부 분포의 양식화 모형(피케티 맥락) (arXiv:1609.08978)
• 이질적 수익률과 부유세 중립성(포커–플랑크) (arXiv:2603.16006)
• 부 집중 동역학의 제약(노동소득의 역할) (arXiv:2202.05789)
• 불평등의 열역학(상향 이동성·불안정성) (arXiv:1406.6441)
• 자본 몫과 소득 불평등의 시간 패턴 (arXiv:2501.02371)

정책 실험 — 세금·재분배·저축·교육

• 부 집중과 과세의 ODE 모형(분기) (arXiv:2308.01500)
• 거시–경제물리 결합: 재분배·소비 도덕 (arXiv:2405.13341)
• 저축 성향과 지니·콜카타 지수(수치) (arXiv:2108.12343)
• 저축 성향과 지니·콜카타 지수(해석) (arXiv:2110.15001)
• 분리된 경제에서 재분배의 효과 (arXiv:2003.04129)
• 이슬람·자본주의 경제 비교(자카트·와크프) (arXiv:2206.05443)
• 교육 지출 배분과 소득 불평등 (arXiv:2601.11928)
• 기회 민감 사회후생 (arXiv:2603.26853)

정직한 현주소 — 비보편성·논쟁·한계

• 임계 근처 꼬리의 비보편성(정책 의존) (arXiv:2006.15008)
• 단순 화폐 교환 모형 비판적 검토 (arXiv:cs/0506092)
• 잘려진/비잘려진 파레토 꼬리 추정 (arXiv:1505.05189)
• 불평등이 경제를 멈출 때(유동성) (arXiv:1602.07300)
• 도시 소득 불평등의 스케일링 (arXiv:1509.00959)
• 성장 분배 자산 교환 모형(시뮬레이션) (arXiv:2102.01268)
• 성장 분배 자산 교환 모형(평균장 이론) (arXiv:2102.01274)